`:top

Eine `!Observable`! (`F33f`_`[lateinisch`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Latein]`_`f `*observabilis`* ‚beobachtbar‘) ist in der `F33f`_`[Physik`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Physik]`_`f, insbesondere der `F33f`_`[Quantenphysik`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Quantenphysik]`_`f, der formale Name für eine `F33f`_`[Messgröße`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Messgröße]`_`f und den ihr zugeordneten `F33f`_`[Operator`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Operator_(Mathematik)]`_`f (siehe auch `F33f`_`[hermitescher Operator`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Hermitescher_Operator]`_`f), die im `F33f`_`[Zustandsraum`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Zustand_(Quantenmechanik)]`_`f, einem `F33f`_`[Hilbertraum`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Hilbertraum]`_`f, wirken.`:cite-ref-1[`F5bf`_`[1`#cite-note-1]`_`f] Beispiele sind die `F33f`_`[Energie`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Energie]`_`f, die Ortskoordinaten, die Koordinaten des `F33f`_`[Impulses`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Impuls_(Physik)]`_`f und die Komponenten des `F33f`_`[Spins`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Spin]`_`f eines `F33f`_`[Teilchens`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Teilchen]`_`f.

>>Contents

• `F0af`_`[Von-Neumannsche Theorie`#von-neumannsche-theorie]`_`f

• `F0af`_`[Beschreibung durch POVM`#beschreibung-durch-povm]`_`f

• `F0af`_`[Zusammenhang mit dem Kommutator`#zusammenhang-mit-dem-kommutator]`_`f

• `F0af`_`[Literatur`#literatur]`_`f

• `F0af`_`[Einzelnachweise`#einzelnachweise]`_`f

-─

>>Von-Neumannsche Theorie

Im traditionellen `F33f`_`[von-Neumannschen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=John_von_Neumann]`_`f mathematischen Formalismus der `F33f`_`[Quantenmechanik`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Quantenmechanik]`_`f werden Observable durch `F33f`_`[selbstadjungierte`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Selbstadjungiert]`_`f, `F33f`_`[dicht definierte`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Dicht_definiert]`_`f `F33f`_`[lineare Operatoren`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Linearer_Operator]`_`f A {\\displaystyle A} auf einem `F33f`_`[Hilbertraum`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Hilbertraum]`_`f H {\\displaystyle {\\mathcal {H}}} dargestellt. Diese Theorie verallgemeinert die `F33f`_`[Bornsche Wahrscheinlichkeitsinterpretation`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Born’sche_Wahrscheinlichkeitsinterpretation]`_`f.

Das Ergebnis einer `F33f`_`[Messung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Quantenmechanische_Messung]`_`f der Observablen A {\\displaystyle A} eines quantenmechanischen Systems, dessen `F33f`_`[Zustand`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Zustand_(Quantenmechanik)]`_`f durch einen `F33f`_`[normierten Vektor`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Normierter_Vektor]`_`f | Ψ Ψ ⟩ ⟩ ∈ ∈ H {\\displaystyle |\\Psi \\rangle \\in {\\mathcal {H}}} beschrieben wird (`F33f`_`[Wellenfunktion`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Wellenfunktion]`_`f in `F33f`_`[Bra-Ket-Notation`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Bra-Ket-Notation]`_`f), ist `F33f`_`[zufällig`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Zufall]`_`f. Die Wahrscheinlichkeit, mit der ein bestimmter Messwert a {\\displaystyle a} auftreten kann, ist gegeben durch die `F33f`_`[Wahrscheinlichkeitsverteilung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Wahrscheinlichkeitsverteilung]`_`f

P [ a ] = ⟨ ⟨ Ψ Ψ | λ λ A ( a ) | Ψ Ψ ⟩ ⟩ {\\displaystyle P[a]=\\langle \\Psi |\\lambda _{A}(a)|\\Psi \\rangle }

wobei λ λ A {\\displaystyle \\lambda _{A}} das `F33f`_`[Spektralmaß`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Spektralmaß]`_`f von A {\\displaystyle A} nach dem `F33f`_`[Spektralsatz`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Spektralsatz]`_`f bezeichnet.

Wird der quantenmechanische Zustand des Systems allgemeiner durch einen `F33f`_`[Dichteoperator`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Dichteoperator]`_`f ρ ρ {\\displaystyle \\rho } beschrieben, so ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Messergebnisses gegeben durch

P [ a ] = Spur ⁡ ⁡ ( λ λ A ( a ) ρ ρ ) {\\displaystyle P[a]=\\operatorname {Spur} (\\lambda _{A}(a)\\,\\rho )}

wobei Spur {\\displaystyle \\operatorname {Spur} } die `F33f`_`[Spurabbildung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Spur_(Mathematik)]`_`f bezeichnet.

Der `F33f`_`[Erwartungswert`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Erwartungswert]`_`f ⟨ ⟨ A ⟩ ⟩ {\\displaystyle \\langle A\\rangle } des Messergebnisses, also der Erwartungswert der Wahrscheinlichkeitsverteilung P {\\displaystyle P} , ist gegeben durch ⟨ ⟨ Ψ Ψ | A | Ψ Ψ ⟩ ⟩ {\\displaystyle \\langle \\Psi |A|\\Psi \\rangle } bzw. durch Spur ⁡ ⁡ ( A ρ ρ ) {\\displaystyle \\operatorname {Spur} (A\\,\\rho )} .

Die `F33f`_`[Standardabweichung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Standardabweichung_(Wahrscheinlichkeitstheorie)]`_`f σ σ A {\\displaystyle \\sigma _{A}} , auch Δ Δ A {\\displaystyle \\Delta A} , der Observablen A {\\displaystyle A} ist die Wurzel aus der mittleren quadratischen Abweichung der Einzelwerte a {\\displaystyle a} vom Erwartungswert ⟨ ⟨ A ⟩ ⟩ {\\displaystyle \\langle A\\rangle } , also

σ σ A = ⟨ ⟨ Ψ Ψ | ( A − − ⟨ ⟨ A ⟩ ⟩ ) 2 | Ψ Ψ ⟩ ⟩ {\\displaystyle \\sigma _{A}={\\sqrt {\\langle \\Psi |(A-\\langle A\\rangle )^{2}|\\Psi \\rangle }}} bzw. Spur ( ( A − − ⟨ ⟨ A ⟩ ⟩ ) 2 ρ ρ ) {\\displaystyle {\\sqrt {{\\text{Spur}}((A-\\langle A\\rangle )^{2}\\rho )}}}

Im Spezialfall, dass das Spektrum von A {\\displaystyle A} diskret und einfach ist, sind die möglichen Messergebnisse die `F33f`_`[Eigenwerte`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Eigenwert]`_`f von A {\\displaystyle A} . Die Wahrscheinlichkeit, den Eigenwert a {\\displaystyle a} als Messergebnis zu finden, lautet dann | ⟨ ⟨ ϕ ϕ a | Ψ Ψ ⟩ ⟩ | 2 {\\displaystyle |\\langle \\phi _{a}|\\Psi \\rangle |^{2}} bzw. ⟨ ⟨ ϕ ϕ a | ρ ρ ϕ ϕ a ⟩ ⟩ {\\displaystyle \\langle \\phi _{a}|\\rho \\phi _{a}\\rangle } , wobei ϕ ϕ a {\\displaystyle \\phi _{a}} einen normierten `F33f`_`[Eigenvektor`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Eigenvektor]`_`f zum Eigenwert a {\\displaystyle a} bezeichnet.

`!Beispiele:`!

• Der Observablen „Ort“ eines Teilchens in einer Dimension entspricht (in Ortsdarstellung) der Multiplikationsoperator mit x {\\displaystyle x} über dem `F33f`_`[Lebesgue-Raum`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Lp-Raum]`_`f L 2 ( R ) {\\displaystyle L^{2}(\\mathbb {R} )} , der `F33f`_`[Ortsoperator`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Ortsoperator]`_`f.

• Der Observablen „Impuls“ eines Teilchens in einer Dimension entspricht (in Ortsdarstellung) der `F33f`_`[Differentialoperator`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Differentialoperator]`_`f − − i ℏ ℏ d d x {\\displaystyle -\\mathrm {i} \\hbar {\\tfrac {\\mathrm {d} }{\\mathrm {d} x}}} über L 2 ( R ) {\\displaystyle L^{2}(\\mathbb {R} )} ; genauer gesagt dessen selbstadjungierte `F33f`_`[Fortsetzung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Fortsetzung_(Mathematik)]`_`f, der `F33f`_`[Impulsoperator`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Impulsoperator]`_`f. Hierbei bezeichnet ℏ ℏ {\\displaystyle \\hbar } die `F33f`_`[reduzierte Planck-Konstante`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Reduzierte_Planck-Konstante]`_`f.

• Der Observablen „Energie“ entspricht der `F33f`_`[Hamiltonoperator`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Hamiltonoperator]`_`f.

>>Beschreibung durch POVM

→

Hauptartikel

:

Positive Operator Valued Probability Measure (POVM)

Die Beschreibung von Zeitmessungen passt nicht in den traditionellen von-Neumann’schen Formalismus, z. B. der Ankunftszeit eines Teilchens in einem `F33f`_`[Detektor`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Teilchendetektor]`_`f. Eine genauere realistische formale Modellierung realer Experimente zeigt, dass auch die meisten realen Messungen an Quantensystemen nicht genau durch von-Neumann’sche Observable beschrieben werden. Diese Defekte behebt die allgemeinere Beschreibung quantenmechanischer Observablen durch POVM.

>>Zusammenhang mit dem Kommutator

Abhängig vom Wert ihres `F33f`_`[Kommutators`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Kommutator_(Mathematik)]`_`f (genauer: vom Wert des Kommutators ihrer Operatoren) bezeichnet man zwei Observable als:

• kommutierende bzw. vertauschende Observable, wenn ihr Kommutator den Wert 0 hat. Sie sind `F33f`_`[kommensurabel`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Kommensurabilität_(Quantenmechanik)]`_`f, d. h. sie können gleichzeitig beliebig genau gemessen werden. Siehe auch `F33f`_`[Vollständiger Satz kommutierender Observablen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Vollständiger_Satz_kommutierender_Observablen]`_`f.

• inkommensurable bzw. nicht vertauschende Observable, wenn ihr Kommutator einen Wert ungleich 0 hat; sie können `*nicht`* gleichzeitig beliebig genau gemessen werden.

• `F33f`_`[komplementäre Observablen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Komplementäre_Observablen]`_`f, wenn ihr Kommutator einen Wert von i ℏ ℏ {\\displaystyle \\mathrm {i} \\hbar } aufweist. Ein Beispiel hierfür sind Ort und Impuls.

>>Literatur

Siehe auch

:

Mathematische Formulierung der Quantenmechanik

>>Einzelnachweise

`:cite-note-1`!1.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-1]`_`f Jürgen Audretsch: Verschränkte Systeme. Wiley-VCH, Weinheim 2005, ISBN 3-527-40452-X.

`c`F0af`_`[↑ Back to top`#top]`_`f`a